OAME - Introducción al Álgebra

🎯 ¿Qué es la división de polinomios?

La división de polinomios es muy similar a la división larga de números. El objetivo es dividir un polinomio (llamado **dividendo**) entre otro (llamado **divisor**) para encontrar el **cociente** y el **resto**.

P(x) = Q(x) · D(x) + R(x)

Donde:

• P(x): Polinomio dividendo
• D(x): Polinomio divisor
• Q(x): Cociente
• R(x): Resto (grado menor que D(x))

🧩 Paso a paso: División larga de polinomios

Vamos a dividir los siguientes polinomios:

P(x) = x³ + 2x² − 5x + 2
D(x) = x − 1

Paso 1: Ordenar los polinomios

Asegúrate de que ambos polinomios estén ordenados de mayor a menor grado.

P(x) = x³ + 2x² − 5x + 2
D(x) = x − 1

Paso 2: Dividir los términos principales

Divides el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor:

x³ ÷ x = x²

Paso 3: Multiplicar y restar

Multiplicas el cociente parcial por el divisor y lo restas al dividendo:

x² · (x − 1) = x³ − x²
(x³ + 2x² − 5x + 2) − (x³ − x²) = 3x² − 5x + 2

Paso 4: Repetir el proceso

Repite los pasos con el nuevo polinomio:

3x² ÷ x = 3x
3x · (x − 1) = 3x² − 3x
(3x² − 5x + 2) − (3x² − 3x) = −2x + 2

Paso 5: Continuar hasta que el grado sea menor

−2x ÷ x = −2
−2 · (x − 1) = −2x + 2
(−2x + 2) − (−2x + 2) = 0

Paso 6: Resultado final

El cociente es: Q(x) = x² + 3x − 2
El resto es: R(x) = 0

📘 Propiedades y observaciones

- El grado del resto siempre es **menor** que el grado del divisor.
- Si el resto es cero, el divisor divide exactamente al dividendo.
- Este algoritmo es clave para factorizar polinomios, encontrar raíces y simplificar expresiones racionales.

🔍 ¿Por qué es importante?

La división larga de polinomios es una herramienta fundamental en álgebra. Se usa para:

• Factorizar polinomios.
• Encontrar raíces racionales.
• Dividir funciones racionales.
• Simplificar expresiones algebraicas.