OAME - Introducción al Álgebra

🎯 ¿Qué es el Teorema de De Moivre?

El Teorema de De Moivre nos permite calcular potencias de números complejos cuando están en **forma polar**:

[ r (cosθ + i senθ) ]ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sen(nθ))

Es decir, para elevar un número complejo a una potencia, solo necesitas elevar su módulo y multiplicar su ángulo por la potencia.

Ejemplo:
Si z = 2 (cos 30° + i sen 30°), entonces:
z³ = 2³ (cos 90° + i sen 90°) = 8 (0 + i·1) = 8i

🧮 Cálculo de potencias

Usar el Teorema de De Moivre es mucho más sencillo que elevar binomios complejos. Veamos un ejemplo:

z = 1 + √3 i

1. Convertimos a forma polar:
r = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
θ = arctan(√3/1) = 60° = π/3 rad
⇒ z = 2 (cos π/3 + i sen π/3)

2. Elevamos a la 4:
z⁴ = 2⁴ (cos 4π/3 + i sen 4π/3) = 16 (cos 240° + i sen 240°)

3. Convertimos a forma binómica:
cos 240° = -1/2,   sen 240° = -√3/2
⇒ z⁴ = 16(-1/2 - i√3/2) = -8 - 8√3 i

🌱 Cálculo de raíces n-ésimas

Para encontrar las **n raíces n-ésimas** de un número complejo, usamos la fórmula:

z_k = r^1/n [ cos( (θ + 360°k)/n ) + i sen( (θ + 360°k)/n ) ], para k = 0, 1, ..., n−1

Ejemplo: Encontrar las raíces cúbicas de z = 8i

1. Forma polar:
r = 8,   θ = 90°
⇒ z = 8 (cos 90° + i sen 90°)

2. Raíces cúbicas (n = 3):
r^1/3 = 8^1/3 = 2
θ₀ = (90° + 0)/3 = 30°
θ₁ = (90° + 360°)/3 = 150°
θ₂ = (90° + 720°)/3 = 270°

3. Raíces en forma polar:
z₀ = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2(√3/2 + i·1/2) = √3 + i
z₁ = 2 (cos 150° + i sen 150°) = 2(-√3/2 + i·1/2) = -√3 + i
z₂ = 2 (cos 270° + i sen 270°) = 2(0 − i) = -2i

📘 ¿Por qué es importante?

El Teorema de De Moivre es una herramienta poderosa que conecta el álgebra con la geometría. Permite:

• Calcular potencias de números complejos sin multiplicar término a término.
• Encontrar todas las raíces n-ésimas de un número complejo, incluyendo las raíces reales e imaginarias.
• Resolver ecuaciones polinómicas complejas.

¡Con este teorema, el mundo complejo se vuelve más ordenado y predecible!