Interpretación geométrica en el plano complejo y Forma polar.
🌀 Interpretación Geométrica y Forma Polar de un Número Complejo
Descubre cómo ver los números complejos desde una perspectiva gráfica y angular.
🎯 El plano complejo
Los números complejos se representan en un plano llamado plano complejo, donde:
- El eje horizontal representa la parte real.
- El eje vertical representa la parte imaginaria.
z = a + bi se representa como el punto (a, b)
Este punto también puede verse como un vector desde el origen hasta (a, b).
🧭 Forma polar de un número complejo
Además de la forma binómica z = a + bi, los números complejos también pueden escribirse en forma polar:
z = r (cosθ + i senθ)
Donde:
- r es el módulo de z: r = |z| = √(a² + b²)
- θ es el argumento de z: θ = arctan(b/a) (con ajuste según el cuadrante)
Ejemplo:
Si z = √3 + i, entonces:
r = √( (√3)² + 1² ) = √(3 + 1) = √4 = 2
θ = arctan(1/√3) = 30° = π/6 rad
⇒ Forma polar: z = 2(cos π/6 + i sen π/6)
🧩 ¿Por qué usar la forma polar?
La forma polar facilita mucho ciertas operaciones con números complejos:
- Multiplicación: Multiplicas los módulos y sumas los ángulos.
- División: Divides los módulos y restas los ángulos.
- Potencia: Elevas el módulo a la potencia y multiplicas el ángulo por el exponente (fórmula de De Moivre).
Fórmula de De Moivre:
[ r (cosθ + i senθ) ]n = rn (cos(nθ) + i sen(nθ))
📘 Ejemplo paso a paso
Vamos a elevar a la 3 el número complejo z = 1 + i usando la forma polar.
1. Calculamos el módulo:
r = √(1² + 1²) = √2
2. Calculamos el argumento:
θ = arctan(1/1) = 45° = π/4 rad
3. Forma polar:
z = √2 (cos π/4 + i sen π/4)
4. Elevamos al cubo usando De Moivre:
z³ = (√2)³ (cos 3π/4 + i sen 3π/4) = 2√2 (cos 135° + i sen 135°)
5. Convertimos a forma binómica:
cos 135° = -√2/2, sen 135° = √2/2
z³ = 2√2 ( -√2/2 + i √2/2 ) = -2 + 2i
La forma polar nos permite ver los números complejos desde una nueva perspectiva, facilitando operaciones y conectando el álgebra con la geometría. ¡Es como tener una brújula en el mundo complejo!