Operatoria y propiedades: Conjugado y módulo de un número complejo.
🌀 Operatoria y Propiedades de los Números Complejos
Aprende sobre el conjugado y el módulo, dos herramientas fundamentales para trabajar con números complejos.
🎯 ¿Qué es el conjugado de un número complejo?
El conjugado de un número complejo z = a + bi es:
conj(z) = a − bi
Es decir, se cambia el signo de la parte imaginaria.
Ejemplo:
Si z = 4 + 5i, entonces conj(z) = 4 − 5i
Propiedades del conjugado:
- conj(conj(z)) = z
- conj(z + w) = conj(z) + conj(w)
- conj(z · w) = conj(z) · conj(w)
- Si z es real, entonces conj(z) = z
🧮 ¿Qué es el módulo de un número complejo?
El módulo de un número complejo z = a + bi es su distancia al origen en el plano complejo, y se define como:
|z| = √(a² + b²)
Ejemplo:
Si z = 3 + 4i, entonces |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Propiedades del módulo:
- |z| ≥ 0, y |z| = 0 solo si z = 0
- |z · w| = |z| · |w|
- |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular)
- |conj(z)| = |z|
🧩 ¿Para qué sirven el conjugado y el módulo?
Estas herramientas son esenciales para:
- Dividir números complejos.
- Encontrar inversos.
- Calcular distancias en el plano complejo.
- Resolver ecuaciones con números complejos.
Ejemplo práctico: Dividir dos complejos:
(2 + 3i)/(1 + i)
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:
= (2 + 3i)(1 − i)/[(1 + i)(1 − i)] = (2 − 2i + 3i − 3i²)/(1 + 1) = (2 + i + 3)/2 = (5 + i)/2
El conjugado y el módulo son herramientas clave en el trabajo con números complejos. ¡Convierten operaciones complicadas en cálculos claros y sencillos!
Revisa el siguiente documento para saber mas: