Teorema del Binomio.
🧮 Teorema del Binomio
Aprende a expandir potencias de binomios de forma rápida y elegante usando el Teorema del Binomio.
🎯 ¿Qué es el Teorema del Binomio?
El Teorema del Binomio permite expandir expresiones de la forma (a + b)n sin necesidad de multiplicar término a término.
(a + b)n = ⅀k = 0n (n sobre k) an−k bk
Donde (n sobre k) es el coeficiente binomial, que se calcula como:
C(n, k) = n! / [k!(n − k)!]
📐 ¿Cómo se usan los coeficientes binomiales?
Los coeficientes binomiales también se pueden encontrar en el Triángulo de Pascal, una estructura que facilita la expansión rápida de binomios elevados a cualquier potencia.
Ejemplo:
(a + b)3 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Los coeficientes 1, 3, 3, 1 vienen de la fila 3 del Triángulo de Pascal.
🧩 Ejemplo paso a paso
Vamos a expandir (x + 2)4 usando el Teorema del Binomio:
= C(4,0)x⁴ + C(4,1)x³·2 + C(4,2)x²·2² + C(4,3)x·2³ + C(4,4)·2⁴
= 1x⁴ + 4x³·2 + 6x²·4 + 4x·8 + 1·16
= x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16
📘 Propiedades clave
Algunas características importantes del Teorema del Binomio:
- El número de términos en la expansión es n + 1.
- Los exponentes de a disminuyen desde n hasta 0.
- Los exponentes de b aumentan desde 0 hasta n.
- Los coeficientes son simétricos: C(n, k) = C(n, n−k).
El Teorema del Binomio es una herramienta poderosa en álgebra, combinatoria y cálculo. ¡Permite expandir binomios a cualquier potencia sin hacer multiplicaciones largas!
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