Teorema del Seno, Teorema del Coseno.
Los teoremas del seno y del coseno son herramientas esenciales para resolver triángulos no rectángulos. Estos teoremas permiten calcular lados y ángulos desconocidos utilizando relaciones trigonométricas, y son ampliamente utilizados en física, ingeniería y navegación.
Presentación Detallada:
Teorema del Seno
El teorema del seno establece que en cualquier triángulo, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante:
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
- Se aplica cuando se conocen:
- Dos ángulos y un lado (caso AAS o ASA).
- Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (caso SSA, con cuidado por la ambigüedad).
Teorema del Coseno
El teorema del coseno relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)
- Se aplica cuando se conocen:
- Dos lados y el ángulo incluido (caso SAS).
- Tres lados (caso SSS).
Ejercicio Resuelto 1
En un triángulo, se conocen los siguientes datos: \( A = 40^\circ \), \( B = 60^\circ \), y \( a = 10 \, \text{cm} \). Calcular el lado \( b \).
Solución:
- Usar el teorema del seno:
- \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)
- Sustituir valores conocidos:
- \( \frac{10}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} \)
- Despejar \( b \):
- \( b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \)
- Calcular con valores aproximados (\( \sin 60^\circ \approx 0.866 \), \( \sin 40^\circ \approx 0.643 \)):
- \( b \approx \frac{10 \cdot 0.866}{0.643} \approx 13.47 \, \text{cm} \)
Ejercicio Resuelto 2
En un triángulo, se conocen los lados \( a = 5 \, \text{m} \), \( b = 7 \, \text{m} \), y el ángulo incluido \( C = 50^\circ \). Calcular el lado \( c \).
Solución:
- Usar el teorema del coseno:
- \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)
- Sustituir valores:
- \( c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 50^\circ \)
- Calcular (\( \cos 50^\circ \approx 0.643 \)):
- \( c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0.643 \approx 74 - 45.01 = 28.99 \)
- Resolver \( c \):
- \( c \approx \sqrt{28.99} \approx 5.38 \, \text{m} \)
Ejercicio Resuelto 3
En un triángulo, se conocen los lados \( a = 8 \, \text{m} \), \( b = 10 \, \text{m} \), y \( c = 12 \, \text{m} \). Calcular el ángulo \( C \) opuesto al lado \( c \).
Solución:
- Usar el teorema del coseno para encontrar \( C \):
- \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
- Sustituir valores:
- \( \cos C = \frac{64 + 100 - 144}{160} = \frac{20}{160} = 0.125 \)
- Calcular \( C \):
- \( C = \cos^{-1}(0.125) \approx 82.82^\circ \)
Dominar los teoremas del seno y del coseno es fundamental para resolver problemas de geometría y aplicaciones prácticas en ciencias e ingeniería. Estas herramientas permiten analizar triángulos en contextos reales con precisión y versatilidad.