OAME - Introducción al Álgebra

Presentación Detallada:

Definición de Funciones Circulares

• Seno (sen x): Relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Función periódica con período \( 2\pi \).
• Coseno (cos x): Relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. También tiene período \( 2\pi \).
• Tangente (tan x): Relación entre seno y coseno (\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)). Tiene período \( \pi \).

Propiedades Clave

• Periodicidad: \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \), \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \), \( \tan(x + \pi) = \tan x \).
• Identidad pitagórica: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
• Simetría:
  • Seno: función impar (\( \sin(-x) = -\sin x \)).
  • Coseno: función par (\( \cos(-x) = \cos x \)).

Ejercicio Resuelto 1

Calcular los valores de \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \), \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) y \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \).

Solución:

• \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).
• \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \).

Ejercicio Resuelto 2

Resolver la ecuación \( 2\sin x - 1 = 0 \) para \( x \in [0, 2\pi] \).

Solución:

1. Despejar \( \sin x \):
• \( 2\sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \).
2. En el intervalo \( [0, 2\pi] \), las soluciones son:
• \( x = \frac{\pi}{6} \) (primer cuadrante).
• \( x = \frac{5\pi}{6} \) (segundo cuadrante).