Funciones exponenciales y logarítmicas.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Propiedades y Aplicaciones
Las funciones exponenciales y logarítmicas son herramientas fundamentales en matemáticas, usadas para modelar fenómenos como crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo y análisis de datos en ciencias e ingeniería. Estas funciones son inversas entre sí y comparten una relación simétrica respecto a la recta \( y = x \).
Presentación Detallada:
Definición de Funciones Exponenciales y Logarítmicas
- Función exponencial: Tiene la forma \( f(x) = a^x \), donde \( a > 0 \) y \( a \neq 1 \).
- Función logarítmica: Es la inversa de la exponencial y se define como \( f(x) = \log_a(x) \).
- Ejemplo: \( y = e^x \) y \( y = \ln(x) \) son inversas.
Propiedades Clave
- Relación inversa: \( a^{\log_a(x)} = x \) y \( \log_a(a^x) = x \).
- Dominio y rango:
- Exponencial: Dominio \( \mathbb{R} \), rango \( (0, \infty) \).
- Logarítmica: Dominio \( (0, \infty) \), rango \( \mathbb{R} \).
- Asíntotas:
- Exponencial: Asíntota horizontal en \( y = 0 \).
- Logarítmica: Asíntota vertical en \( x = 0 \).
Ejercicio Resuelto 1
Resolver la ecuación exponencial \( 3^{2x} = 27 \).
Solución:
- Expresar 27 como potencia de 3: \( 27 = 3^3 \).
- Igualar exponentes: \( 3^{2x} = 3^3 \).
- Resolver \( 2x = 3 \): \( x = \frac{3}{2} \).
Ejercicio Resuelto 2
Convertir la ecuación exponencial \( 5^x = 12 \) a forma logarítmica y resolver para \( x \).
Solución:
- Aplicar logaritmo en ambos lados: \( \log_5(5^x) = \log_5(12) \).
- Simplificar usando propiedades: \( x = \log_5(12) \).
- Expresar en forma logarítmica: \( x = \frac{\ln(12)}{\ln(5)} \approx 1.544 \).
Dominar estas funciones permite modelar y resolver problemas complejos en áreas como la biología, la economía y la física. Su estudio es esencial para comprender procesos de crecimiento y decaimiento en el mundo real.