OAME - Introducción al Álgebra

Presentación Detallada:

Definición de Función Inversa

• Una función \( f \) tiene inversa \( f^{-1} \) si y solo si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
• La inversa satisface: \( f(f^{-1}(x)) = x \) y \( f^{-1}(f(x)) = x \).
• Ejemplo: Si \( f(x) = 2x + 3 \), entonces \( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \).

Propiedades Clave de las Funciones Inversas

• Unicidad: Si una función tiene inversa, esta es única.
• Simetría gráfica: Las gráficas de \( f \) y \( f^{-1} \) son simétricas respecto a la recta \( y = x \).
• Continuidad y diferenciabilidad: Si \( f \) es continua/diferenciable, \( f^{-1} \) también lo es bajo ciertas condiciones.

Ejercicio Resuelto 1

Hallar la inversa de la función \( f(x) = 3x - 5 \).

Solución:

1. Despejar \( x \) en términos de \( y \):
• \( y = 3x - 5 \)
• \( y + 5 = 3x \)
• \( x = \frac{y + 5}{3} \)
2. Reescribir como función inversa:
• \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \).

Ejercicio Resuelto 2

Verificar si \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = \frac{x - 1}{2} \) son inversas.

Solución:

1. Calcular \( f(g(x)) \):
• \( f\left(g(x)\right) = f\left(\frac{x - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 1}{2}\right) + 1 = x - 1 + 1 = x \).
2. Calcular \( g(f(x)) \):
• \( g\left(f(x)\right) = g(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x \).
3. Como \( f(g(x)) = g(f(x)) = x \), ¡son inversas!