OAME - Introducción al Álgebra

🔄 Definición de Función

Una función es una relación entre dos conjuntos, A (dominio) y B (codominio), que asigna a cada elemento del dominio A exactamente un elemento del codominio B. Se denota como f: A → B, donde f(a) = b indica que el elemento a ∈ A se asocia con b ∈ B.

• Dominio: Conjunto de todos los valores de entrada a para los que la función está definida. Ejemplo: En f(x) = √x, el dominio es x ≥ 0.
• Codominio: Conjunto que contiene todos los posibles valores de salida b. No todos los elementos del codominio necesariamente se alcanzan.
• Recorrido (o imagen): Subconjunto del codominio formado por los valores reales que la función asigna. Ejemplo: Para f(x) = x², el recorrido es [0, ∞).

Propiedades clave:

• inyectiva: Si f(a₁) = f(a₂) implica a₁ = a₂. Ejemplo: f(x) = 2x + 3 es inyectiva.
• suprayectiva: Si el recorrido cubre todo el codominio. Ejemplo: f(x) = x³ es suprayectiva en ℝ.
• biyectiva: Si es inyectiva y suprayectiva. Ejemplo: f(x) = eˣ es biyectiva de ℝ a (0, ∞).

Las funciones son herramientas esenciales en matemáticas para modelar dependencias entre variables. Se aplican en cálculo, álgebra, ciencias naturales y programación. Su estudio incluye operaciones como composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)) e inversión f⁻¹ = x cuando es biyectiva.