OAME - Introducción al Álgebra

🔗 Relaciones: Conexiones Matemáticas

Una relación entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Representa pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B, estableciendo una conexión lógica entre ellos.

• Dominio: Es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en la relación. Se denota como Dom(R) = {a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R}.
• Recorrido (o Imagen): Es el conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados en la relación. Se denota como Rec(R) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R}.

Propiedades básicas:

• Reflexiva: Para todo a ∈ A, el par (a, a) pertenece a la relación. Ejemplo: La relación "es igual a" en números reales.
• Simétrica: Si (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R. Ejemplo: La relación "es amigo de" en un grupo de personas.
• Antisimétrica: Si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b. Ejemplo: La relación "es menor o igual que" en números reales.
• Transitiva: Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R. Ejemplo: La relación "es múltiplo de" en enteros positivos.

Las relaciones son herramientas fundamentales para modelar dependencias entre elementos. Se aplican en áreas como bases de datos, teoría de grafos y sistemas de ecuaciones. Su análisis permite clasificar estructuras matemáticas y resolver problemas de conectividad y orden.