OAME - Introducción al Álgebra

🎯 Producto Cartesiano y Sus Propiedades

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado como A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Esta operación es fundamental en teoría de conjuntos, álgebra y análisis matemático.

• No conmutativo: En general, A × B ≠ B × A, salvo que A = B. Por ejemplo, si A = {1} y B = {a}, entonces A × B = {(1, a)}, mientras que B × A = {(a, 1)}.
• No asociativo: (A × B) × C ≠ A × (B × C), ya que los elementos resultantes son ternas ordenadas con estructuras diferentes.
• Distributividad sobre unión: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). Similarmente, (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
• Distributividad sobre intersección: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). Y (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
• Con el conjunto vacío: A × ∅ = ∅ × A = ∅, ya que no hay elementos para formar pares.

Cardinalidad: Si |A| = m y |B| = n, entonces |A × B| = m · n. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y}, entonces A × B tiene 2 · 2 = 4 elementos: { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) }.

Este concepto es esencial en matemáticas para definir relaciones, funciones, coordenadas cartesianas y estructuras en álgebra lineal. Su rigor formal lo convierte en una herramienta clave para modelar espacios multidimensionales y sistemas complejos.