Diferencial y aplicaciones
📏 Definición y Aplicación de Diferenciales
La noción de diferencial aparece cuando una función \( f(x) \) es derivable en un intervalo abierto. Es una herramienta fundamental para aproximar cambios pequeños en la función y analizar errores de medición.
📐 Definición de Diferencial
Cuando \( f \) es derivable, el cambio en la variable dependiente \( \Delta y \) se puede aproximar por el diferencial \( dy \):
\[ \Delta y \approx dy \quad \text{o} \quad \Delta y \approx f'(x) \, dx \]
Aquí:
- \( \Delta y \): cambio real de la función (error programado)
- \( \Delta x \): cambio en la variable independiente (error de medición)
- \( f(x) \): valor medido
- \( f(x + \Delta x) \): valor exacto
📏 Aplicación: Estimación de Errores
El diferencial se utiliza para estimar errores en mediciones:
\[ f(x + \Delta x) - f(x) = \Delta y \]
Ejemplo: Supongamos que medimos el radio de una esfera como \( r = 10 \, \text{cm} \) con un error de medición de \( \Delta r = 0.1 \, \text{cm} \). El volumen de la esfera es \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
Diferencial: \( dV = 4 \pi r^2 \, dr \)
Sustituyendo: \( dV = 4 \pi (10)^2 (0.1) = 40 \pi \, \text{cm}^3 \)
Esto significa que el volumen medido podría tener un error aproximado de \( 40 \pi \approx 125.66 \, \text{cm}^3 \).
Con los diferenciales, es posible anticipar el efecto que un pequeño error de medición tendrá en el resultado final de un cálculo.