OAME - Introducción al Álgebra

Definición de la Composición de Funciones

• La composición de funciones se define como la aplicación de una función al resultado de otra función.
• Si \( f(x) \) y \( g(x) \) son funciones, su composición se denota como \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).
• Por ejemplo, si \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x + 3 \), entonces \( (f \circ g)(x) = (x + 3)^2 \).

Propiedades Clave de la Composición de Funciones

• No conmutativa: En general, \( f \circ g \neq g \circ f \).
• Asociativa: La composición de funciones es asociativa, es decir, \( (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \).
• Función identidad: Si \( I(x) = x \), entonces \( f \circ I = I \circ f = f \).
• Dominio: El dominio de \( f \circ g \) depende tanto del dominio de \( g \) como del dominio de \( f \).

Ejercicio Resuelto 1

Dadas las funciones \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = x^2 \), calcular \( (f \circ g)(x) \).

Solución: Para encontrar \( (f \circ g)(x) \), sustituimos \( g(x) \) en \( f(x) \): \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1 \] Por lo tanto, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).

Ejercicio Resuelto 2

Dadas las funciones \( f(x) = \sqrt{x} \) y \( g(x) = x - 4 \), calcular \( (g \circ f)(x) \).

Solución: Para encontrar \( (g \circ f)(x) \), sustituimos \( f(x) \) en \( g(x) \): \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x}) - 4 \] Por lo tanto, \( (g \circ f)(x) = \sqrt{x} - 4 \).